圆排列问题

系统 1702 0

Ø 给定 n 个大小不等的圆 c1,c2, , cn ,现要将这 n 个圆排进一个矩形框中,且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从 n 个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。
Ø 例如,当 n=3 ,且所给的 3 个圆的半径分别为 1 1 2 时,这 3 个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为 2+4√2

void Circle::Backtrack( int t)

{

if (t>n) Compute();

else

for ( int j = t; j <= n; j++) {

Swap(r[t], r[j]);

float centerx =Center(t);

if ( centerx+r [t]+r[1]<min)

{// 下界约束

x[t]= centerx ;

Backtrack(t+1);}

Swap(r[t], r[j]);}

}

float Circle::Center( int t)

{// 计算当前所选择圆的圆心横坐标

float temp=0;

for ( int j=1;j< t;j ++) {

float valuex =x[j]+2.0* sqrt (r[t]*r[j]);

if ( valuex >temp) temp= valuex ;

}

return temp;

}

void Circle::Compute(void)

{// 计算当前圆排列的长度

float low=0,

high=0;

for ( int i =1;i<= n;i ++) {

if (x[ i ]-r[ i ]<low) low=x[ i ]-r[ i ];

if (x[ i ]+r[ i ]>high) high=x[ i ]+r[ i ];

}

if (high-low<min) min=high-low;

}

Ø 上述算法尚有许多改进的余地。例如,象 1,2,…,n-1,n n,n-1, …,2,1 这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度,只计算一个就够了,可减少约一半的计算量。
Ø 另一方面,如果所给的 n 个圆中有 k 个圆有相同的半径,则这 k 个圆产生的 k! 个完全相同的圆排列,只计算一个就够了。

圆排列问题


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