Commons Math学习笔记——多项式函数

2.2 多项式函数

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在 Commons Math 中的 analysis.polynomials 包中有所有的与多项式函数相关的类和接口定义。这一篇主要从这个包分析，来研究一下多项式函数的应用。

Polynomials 包中没有 interface 的定义，下属含有 5 个类： PolynomialFunction 、 PolynomialFunctionLagrangeForm 、 PolynomialFunctionNewtonForm 、 PolynomialSplineFunction 和 PolynomialsUtils 。其中主要的只有 PolynomialFunction 和 PolynomialSplineFunction ，正如 api doc 中的介绍， PolynomialFunction 类是 Immutable representation of a real polynomial function with real coefficients ——实数多项式的表示； PolynomialSplineFunction 类是 Represents a polynomial spline function. ——样条曲线多项式的表示。另外两个表示拉格朗日和牛顿形式的多项式函数。而 PolynomialsUtils 类中提供了几个构造个别（比如切比雪夫多项式）多项式的静态方法。

我觉得最常用的应该就是实数系数的多项式了，因此以 PolynomialFunction 类为例来进行分析。实数系数的多项式函数形如： f(x) = ax^2 + bx + c 。 PolynomialFunction 类实现了 DifferentiableUnivariateRealFunction 接口，因此必须实现 value() 和 derivative() 方法，并且实现该接口也表明这是一元可微分的实数函数形式。 PolynomialFunction 类定义了一组 final double coefficients[] 作为多项式系数，其中 coefficients[0] 表示常数项的系数， coefficients[n] 表示指数为 n 的 x^n 次项的系数。因此，这个类所表达的多项式函数是这样的： f(x)=coeff[0] + coeff[1]x + coeff[2]x^2 + … + coeff[n]x^n 。它的构造方法是 PolynomialFunction(double []) 就是接受这样的 coefficients 数组作为系数输入参数来构造多项式的。这个是很好表达也很方便理解的。那么它的 value(double x) 方法是通过调用 double evaluate( double [] coefficients, double argument) 实现的，本质用 Horner's Method 求解多项式的值，没有什么技术难点，非常好理解的一个给定参数和函数求值过程。剩余定义的一些加减乘等操作，都是通过一个类似public PolynomialFunction add( final PolynomialFunction p) 这样的结构实现的。求导数的方法 derivative() 是通过这样的一个微分操作实现的。见源码：

protected static double [] differentiate( double [] coefficients) {
2

int n = coefficients.length;
3

if (n < 1 ) {
4

throw MathRuntimeException.createIllegalArgumentException( " empty polynomials coefficients array " );
5

}
6

if (n == 1 ) {
7

return new double [] { 0 } ;
8

}
9

double [] result = new double [n - 1 ];
10

for ( int i = n - 1 ; i > 0 ; i -- ) {
11

result[i - 1 ] = i * coefficients[i];
12

}
13

return result;
14

}
15

测试代码示例如下：

/**
2

*
3

*/
4

package algorithm.math;
5

import org.apache.commons.math.ArgumentOutsideDomainException;
7

import org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialFunction;
8

import org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction;
9

/**
11

* @author Jia Yu
12

* @date 2010-11-21
13

*/
14

public class PolinomialsFunctionTest {
15

/**
17

* @param args
18

*/
19

public static void main(String[] args) {
20

// TODO Auto-generated method stub
21

polynomials();
22

System.out.println( " ----------------------------------------------- " );
23

polynomialsSpline();
24

}
25

private static void polynomialsSpline() {
27

// TODO Auto-generated method stub
28

PolynomialFunction[] polynomials = {
29

new PolynomialFunction( new double [] { 0d, 1d, 1d } ),
30

new PolynomialFunction( new double [] { 2d, 1d, 1d } ),
31

new PolynomialFunction( new double [] { 4d, 1d, 1d } ) } ;
32

double [] knots = { - 1 , 0 , 1 , 2 } ;
33

PolynomialSplineFunction spline = new PolynomialSplineFunction(knots,
34

polynomials);
35

// output directly
36

System.out.println( " poly spline func is " + spline);
37

// get the value when x = 0.5
38

try {
39

System.out.println( " f(0.5) = " + spline.value( 0.5 ));
40

} catch (ArgumentOutsideDomainException e) {
41

// TODO Auto-generated catch block
42

e.printStackTrace();
43

}
44

// the number of spline segments
45

System.out.println( " spline segments number is " + spline.getN());
46

// the polynomials functions
47

for ( int i = 0 ;i < spline.getN();i ++ ) {
48

System.out.println( " spline:f " + i + " (x) = " + spline.getPolynomials()[i]);
49

}
50

// function derivative
51

System.out.println( " spline func derivative is " + spline.derivative());
52

}
53

private static void polynomials() {
55

// TODO Auto-generated method stub
56

double [] f1_coeff = { 3.0 , 6.0 , - 2.0 , 1.0 } ;
57

double [] f2_coeff = { 1.0 , 2.0 , - 1.0 , - 2.0 } ;
58

PolynomialFunction f1 = new PolynomialFunction(f1_coeff);
59

PolynomialFunction f2 = new PolynomialFunction(f2_coeff);
60

// output directly
61

System.out.println( " f1(x) is : " + f1);
62

System.out.println( " f2(x) is : " + f2);
63

// polynomial degree
64

System.out.println( " f1(x)'s degree is " + f1.degree());
65

// get the value when x = 2
66

System.out.println( " f1(2) = " + f1.value( 2 ));
67

// function add
68

System.out.println( " f1(x)+f2(x) = " + f1.add(f2));
69

// function substract
70

System.out.println( " f1(x)-f2(x) = " + f1.subtract(f2));
71

// function multiply
72

System.out.println( " f1(x)*f2(x) = " + f1.multiply(f2));
73

// function derivative
74

System.out.println( " f1'(x) = " + f1.derivative());
75

System.out.println( " f2''(x) = "
76

+ ((PolynomialFunction) f2.derivative()).derivative());
77

}
79

}
81

输出如下：
f1(x) is : 3.0 + 6.0 x - 2.0 x^2 + x^3
f2(x) is : 1.0 + 2.0 x - x^2 - 2.0 x^3
f1(x)'s degree is 3
f1(2) = 15.0
f1(x)+f2(x) = 4.0 + 8.0 x - 3.0 x^2 - x^3
f1(x)-f2(x) = 2.0 + 4.0 x - x^2 + 3.0 x^3
f1(x)*f2(x) = 3.0 + 12.0 x + 7.0 x^2 - 15.0 x^3 - 8.0 x^4 + 3.0 x^5 - 2.0 x^6
f1'(x) = 6.0 - 4.0 x + 3.0 x^2
f2''(x) = -2.0 - 12.0 x
-----------------------------------------------
poly spline func is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@69b332
f(0.5) = 2.75
spline segments number is 3
spline:f0(x) = x + x^2
spline:f1(x) = 2.0 + x + x^2
spline:f2(x) = 4.0 + x + x^2
spline func derivative is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@173a10f

PolynomialFunction 类也是重写了 toString 方法和 hashCode 和 equals 方法的。

PolynomialSplineFunction 类是多项式样条函数，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。表示了一个由多个多项式组成的样条曲线。它的实现主要是内部定义了一个多项式函数组 PolynomialFunction polynomials[] 和一个样条分界节点数组 double knots[] 。这两个内部成员分别表示什么呢？分界节点表示整条曲线对应在 x 等于 knots[i] 的时候开始使用其他多项式样条，其构造方法 public PolynomialSplineFunction( double knots[], PolynomialFunction polynomials[]) 完成这样的功能。

举例来说，一个多项式样条函数就是一个分段函数：

X^2+x [-1,0)

F(x) = x^2+x+2 [0,1)

X^2+x+4 [1,2)

当然，构造方法中的参数， knots[] 数组必须是递增的。

可以看到，直接输出 PolynomialSplineFunction 是多么丑陋啊 ~~ ，因为它没有重写 toString 方法。同样，它的导数也是一样的丑陋。其中如果给定的值不在定义域内， value 方法还抛出异常 ArgumentOutsideDomainException 。

最后 PolynomialFunctionLagrangeForm 和 PolynomialFunctionNewtonForm 类完成的其实是多项式插值的功能，放到下一节研究的。