求有向图的强连通分量(scc):Tarjan算法

1,在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected component)。
2,下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。


3,Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义几个关键数组:
int DFN[MAX]; //记录节点u第一次被访问时的步数
int LOW[MAX]; //记录与节点u和u的子树节点中最早的步数
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。


返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。


返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。


继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。


至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

分析:
运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

4,实例代码:

Cpp代码

1. #include<iostream>   
2. #include<vector>   
3. using   namespace  std;   
4.   
5. const   int  MAX=10001;   
6.   
7. int  Stop; //栈中的元素个数   
8. int  cnt; //记录连通分量的个数   
9. int  visitNum; //记录遍历的步数   
10. int  DFN[MAX];  //记录节点u第一次被访问时的步数   
11. int  LOW[MAX];  //记录与节点u和u的子树节点中最早的步数   
12. bool  instack[MAX]; //记录节点u是否在栈中   
13. int  Stap[MAX]; //栈   
14. int  Belong[MAX]; //记录每个节点属于的强连通分量编号   
15.   
16. int  N; //节点个数   
17.   
18. vector< int > tree[MAX];   
19.   
20. void  tarjan( int  i)   
21. {   
22.      int  j;   
23.     DFN[i]=LOW[i]=++visitNum;   
24.     instack[i]= true ;   
25.     Stap[++Stop]=i; //将当前节点压入栈中   
26.      for  (unsigned k=0;k<tree[i].size();k++)   
27.     {   
28.         j=tree[i][k];   
29.          if  (!DFN[j])  //j还没有被访问过   
30.         {   
31.             tarjan(j);   
32.              //父节点是子节点的子节点   
33.              if  (LOW[j]<LOW[i])   
34.                 LOW[i]=LOW[j];   
35.         }   
36.          //与j相连,但是j已经被访问过,且还在栈中   
37.          //用子树节点更新节点第一次出现的时间   
38.          else   if  (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])   
39.             LOW[i]=DFN[j];   
40.     }   
41.      //节点i是强连通分量的根   
42.      if  (DFN[i]==LOW[i])   
43.     {   
44.         cnt++;   
45.          //输出找到的强连通分量   
46.         cout<< "连通分量" <<cnt<< ": " ;   
47.          //退栈,直至找到根为止   
48.          do   
49.         {   
50.             j=Stap[Stop--];   
51.             instack[j]= false ;   
52.             cout<<j<< " " ;   
53.             Belong[j]=cnt;   
54.         }   
55.          while  (j!=i);   
56.         cout<<endl;   
57.     }   
58. }   
59. void  solve()   
60. {   
61.     Stop=cnt=visitNum=0;   
62.     memset(DFN,0, sizeof (DFN));   
63.      for  ( int  i=1;i<=N;i++)   
64.          if  (!DFN[i]) //有可能图不是连通图   
65.             tarjan(i);   
66. }   
67.   
68. int  main()   
69. {   
70.     N=6;   
71.     tree[1].push_back(3);   
72.     tree[1].push_back(2);   
73.     tree[2].push_back(4);   
74.     tree[3].push_back(5);   
75.     tree[3].push_back(4);   
76.     tree[4].push_back(1);   
77.     tree[4].push_back(6);   
78.     tree[5].push_back(6);   
79.     solve();   
80.      for ( int  i=1;i<=N;i++)   
81.         cout<<Belong[i]<< " " ;   
82.     cout<<endl;   
83.      return  0;   
84. }  

求有向图的强连通分量(scc):Tarjan算法