征服无限--数学的力量
"所有的动物生而平等，但是有些比别的更平等[1]。"在数学里也一样存在
这个现象。如果只是要合乎逻辑的话几何可以有很多种，代数也一样。就算动用美
学的标准，也很难说我们的数学就比它的这些兄弟们更好一些。那为什么我们今天
见到的数学是这样的而不是那样的？我想，原因在于我们总是用现实世界的眼睛去
观察和发现数学。欧氏几何之所以有这样的公理而不是别的，是因为它最符合当时
人类对自然世界的观察。这样一来它就比别的几何在数学里具有更高的地位，拥有
更多的关注。
伟大的苏格拉底曾经向普罗塔奇思(Protarchus)问道："是不是有两种数学，
一种是平民百姓的，一种是哲学家的？.....（平民）在建筑和作买卖时运用的算
法和测量的技术与哲学家们的（欧氏）几何和极为精细的计算比较如何--我的意
思是，它们是一种还是两种？"
普罗塔奇思：".....我认为是两种"。[2]
这段对话其实反映出数学自降生以来，就被分成从目标上来说截然不同的两部
分：纯粹数学和应用数学。我认为这种分类并不能严格地从内容上进行，比如说属
于应用数学的微分方程理论就有很多定理十分优美和抽象，当年被证明出来大概也
还是出于认识真理的动力；而以前非欧几何完全是在纯数学的小圈子里面流通的，
后来也在二十世纪成了描述现实宇宙的重要工具。最有意思的是这么一个故事，在
一九一零年左右，普林斯顿大学一位数学家和一位物理学家在讨论课程表的时候，
物理学家很有把握地声称，他们无疑可以去掉抽象代数，因为它绝不会对物理有用
的[3]。 结果是没出几十年，不懂群论就已经无法进行基础物理的研究了。在数学
的发展史上，"纯粹"往往在多年以后找到"应用"，而"应用"也常常成为理论
研究的动力，它们二者与其说成是两个不同的数学分支，不如说成是统一的数学的
两个侧面。就象在希腊神话中，雅典娜不仅有俏丽的面容，也有强大的力量。纯粹
思辩的数学在自然科学中是极有力的工具，以至于曾经说过，一门科学只有
当它能够成功地运用数学的时候，才可以真正算作发展成熟了。[4]
然而为什么数学是如此地有用？这本身却是一个难以回答的哲学问题。就象我
在前面两章里所阐述的，数学是为数很少的几个公设在逻辑推理下可以得到的所有
命题的总和。如果把"真理"理解为在现实世界里行得通的某种"法则"，那么正
好和常识相反，数学里不包含任何"真理"。在物理，化学，生物里我们经常可以
看到这样的论断：A具有性质B。验证它的方法是实验C。和这种毫不犹豫地求助于
实验的风格不同的是，在勾股定理的命题描述后面，你绝不会看见验证它的实验是
什么什么，取代这一步骤的是从欧几里得几何的几条公理出发，通过清晰的逻辑把
它证明出来。按照罗素等人的解释，"正三角形的直角边平方和等于斜边的平方"
这个给人以"客观真理"印象的命题是过于简化了，它应该被说成："从欧氏几何
的公理和实数的策墨罗-富兰克尔公理体系出发，推出勾股定理的逻辑值为真"。
后一种说法其实就和客观实践无关了，如果我们把前提修改一下，后面那个符合实
践的结论很可能就不成立。比方说在非欧几何里，这条定理就行不通。这两个不同
的结论可以很好地共存，而且还不象经典力学和相对论那样是彼此近似的关系。原
因是单从逻辑的角度上讲，只要它们各自的前提不存在内部矛盾就是平等的。而前
提是不是正确？是不是我们这个自然世界的性质？数学家们狡猾地笑笑，说：这就
是物理学家，化学家，生物学家们的事情了。
一个现实问题的数学解法之合理性是出自近似性。从应用的角度讲，我们从来
就不需要绝对的精确，恐怕永远也达不到它。根号二是个无理数？那不要紧，反正
我们连有理数长的尺子也造不出来。exp(x)=x没有"解析解"？这也不要紧，要紧
的是我们能够想出一个逼近的方法，有多精确的需要，就能够通过有限步运算达到
多么精确。
回到几何和数学本身，它们是有限步逻辑的产物，哪怕最接近"现实"的数学
也已注定了是这个无限复杂的世界的某种近似。那么真实世界中任何问题都能够被
某种数学所渐进描述么？学过一些比较专业的数学就知道，这个问题等价于"全体
数学空间"在"全体现实问题空间"里稠密，而这一般来说并不是显然的。好在我
们的科学发展暂时还没有碰到这些问题，多么复杂的物理问题最后总是找到相应的
数学工具，而且在很多时候这件事情还富有戏剧性：物理学家们有时发现，他们需
要的工具，很早以前一小群纯粹数学家们就已经准备好了。这种应用在数学界的影
响也是巨大的，因为它把某种"没有用"的纯粹数学隐含的应用性揭示出来，从而
强烈地暗示，任何抽象的数学研究终归会被派上用场，成为应用数学。这也是非欧
几何创始人之一的罗巴切夫斯基的信心，而且我们还知道，爱因斯坦没有让他失望
。"所有数学都是有用的"这个命题大致是前面"所有现实问题都有数学模型"的
逆命题。很可惜，就和前面那个命题一样，这也是难以证明的。困难来自于无限，
希望却也来自无限。数学的发展与人类对无限的挑战和超越密不可分。
在上一章里，我已经提到所有的数学都是研究涉及无限的模式，哪怕最简单的
自然数也不例外。现在我们更进一步，看看我们是怎么解决由数本身所构成的无限
命题。第一步我想我们应该看看最为简单的无限：自然数所产生的无限（这种无限
有个学名，叫做"可数无穷大"）。在近代数学定义中，这个无限可以通过"给定
一个自然数n，总存在n+1比它大"这一事实来描述。这些语言本身仅仅涉及有限，
因而是我们可以把握的。由此我们还得到数学归纳法，它可以处理含有这种无穷大
的命题，比方说"1+2+……+n=n*(n+1)/2"。步骤是先证明最开始的一个情况是对
的，然后证明第n+1个情况的正确性可以由第n个情况所推出。这就象是在搭梯子，
只要第一下踏中了，而且保证一脚踏实后就可以踏第二脚，那么哪怕这梯子有无限
多级，我们也满可以登上去。
然而这并不是一个让人放心的逻辑。事实上它违反了一个"常识"：如果真有
无限级的梯子，就算一个人结结实实地踩中了第一脚，并且保证下一脚永不踏空，
他也没有办法爬完全部梯子。不过好在我们谁也没有真正见到过无限级的梯子，真
正的无穷是不为人所见的。世界是那样的复杂，我们把它叫做无穷；而人却是渺小
的，我们只能感知到有限。无限如果不和有限结合起来，就是对我们毫无用处的无
限。这条想象中的"无限梯"是那样真实，以至于我们已经忘了它其实来自于"非
常长"然而仍然是有限的梯子的经验。我们不必为那条无限梯永远爬不到顶而烦恼
，我们的胜利来自于每一级被征服的有限，和不断延续的过程。过程！是的，无限
不是静止的体验，无限来自不停息的过程。每一个被征服的具体的n+1都是有限，
归纳的过程却意味着我们征服了第一个无限。
谈到过程，就要谈谈时间了。和自然数不同，时间是连续的。换句话说，在万
分之一毫秒中我们还可以插入许多亿分之一毫秒，而且这一分割还可以继续下去，
要多细有多细。在现实生活中，人对"微小"的认识水平是有限制的。所以无限可
分并不是直接的经验，而是和可数无穷大一样，是有限经验的一种抽象。这种无限
可分的性质不光时间有，空间也是有的，它们合在一起构成了我们这个宇宙的框架
。最早对这一框架的数学描述是欧氏几何，通过笛卡尔等人的努力，实数和这一几
何通过坐标系建立了不可分割的关系。
几何的出发点是抽象的"点"，"直线"等概念，这些概念，在现实生活中是
不存在的。确实，有谁能够见到一个没有任何大小的"点"呢？又有哪一条"直线
"不是弯曲的呢？然而今天对于任何一个受过教育的人来讲，这些奇怪的人造动物
都是再自然不过的了。我们把力学问题抽象为几何，通过数学来推导，运算，得到
一个数字或者图形，然后再把它的力学意义解释出来。而这个结论总是对的，这可
以从无数实验中看出来。可是这种正确，却是基于在现实生活中谁也没有见到过的
"点"和"线"的 看 逻辑推理。
解释它的办法仍然是用过程的概念：比方说一个"点"或者说一个实数不是个
固定的概念--无限小的"存在"，而是一个可以不断逼近（缩小）的过程。一颗
质量为3.75公斤的石子在113.14牛顿的推进力下沿直线运行了3.03秒，那么它的轨
迹就有138.50米。这里的任何一个数字都不是对现实实验的真实描述，而是近似。
随着对3.75公斤，113.14牛顿，3.03秒近似水平的提高，轨迹也会越来越接近
138.50米。这个"越来越接近"又是一个涉及无限的过程了，它被有限的逻辑以
F=ma, S=a*t^2/2的形式表达出来。其中第一个式子来源于物理经验，第二个式子
则是微积分的一个结果。
微积分和它所生成的分析学是近代数学最值得铭记的里程碑，它在数学中的重
要性怎么估计都不会过高。可是它竟然在相当长的一段时间里不是严格意义上的数
学--因为它的基础要到很晚以后才被建立在坚实的逻辑之上。天文学家开普勒尝
试着做最早的积分，被叫做"dolichometry"--小桶的量度--即量度由曲面包
围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是欧几里得以后的那
种几何学[5]。牛顿发明的"流数"运算，不仅是为了研究物理提供工具，连陈述
都是物理化的，而这种不精确性，来源就是把无穷小量当作静止的恒量。在牛顿时
代的微积分运算中，我们经常可以看到用这个无穷小量做分母（这意味着它不等于
零），而在随后的乘法中和它相乘的量又都被消去（这时它就是零了），从而得到
结果。这个矛盾当时无法解决，而且它并不是象虚数那样完全是形式上的问题，那
种推导方法还有可能会得出象0=1这种荒谬的结论。以前曾经是如此严格地合乎道
德的数学也犯了原罪；它吃了智慧果，这为它开辟了获得最大成就但也造成谬误的
道路[6]。
现在我们高等数学/数学分析教科书上已经找不到这个象幽灵一样的无穷小量
了，取而代之的是柯西和魏尔斯特拉斯所发现的极限思想和用来描述它的ε-δ法
则。无穷小量现在被看成某个函数的极限过程，精确的描述如下：对于任意ε>0.
存在δ>0, 当|x-x_0|<δ时 |f(x)-f(x_0)|<ε，记为当x→x_0时，f(x)→
f(x_0)。
这里ε和δ都代表了有限，"任意"和"存在"是集合论或者说是逻辑运算的
语言，通过它们把代表无限的无穷小量刻画出来。看似笨拙的描述中透露的还是那
个思想：如果不能够从有限出发刻画无限，那样的无限就毫无意义；如果一种计算
不能写成标准的逻辑语言，它就不能被称为真正的数学。数学的力量表现在丰富多
彩的应用上，但更是出自它无比的严密。在历史上应用很多次走在了严密的前面，
就象微积分那样，但最终数学总可以为它们建立严格的逻辑，尽管有时不得不付出
直观性和有效性的代价。后者一个典型的例子就是概率论。古典概率的直观体系很
早就有了雏形，而且被实践证明是管用的。然而要到本世纪柯尔莫哥洛夫（
Kolmogorov）突破性的工作后它才谈得上有一个严格的数学基础。这套体系是建立
在测度论上的，而在现有的体系下一定有很多事件是无法定义概率的（不可测），
所以概率的定义域就从来自经验的"全部可能的事件"缩减为一个纯粹为满足数学
严格性而建筑的δ-algebra之上。这种不自然多多少少削弱了概率论的力量（尽管
几乎所有我们见过的集合都是可测的），因此直到现在还有人反对它，试图建立一
套更加完美的理论。
不管新的体系会是什么样子，有一点是肯定的：它一定是保证了逻辑严密性后
的推广，只有这样，我们才有充分的信心去运用它。可是逻辑又为什么会适用于我
们这个世界？这是还未得到解决的哲学问题。抽象的逻辑其实一样来自于重复足够
多次的经验，我们的经验则是视觉，听觉，触觉，嗅觉--通过机器可以把它们延
伸，通过思考可以间接地感受它们，然而归根到底它们还是基于这些感觉。也许
1+1=2不是感觉，可是它也是从一大类我们感知得到的具体事物中抽象出来的规律
。这个规律，就我们过去的经验所知是正确的。之所以我们要去（通过研究过去的
经验）追求规律，是为了把握我们难以把握的未来，如果历史对未来毫无影响，如
果宇宙随时间的变化完全不可知，我们还有研究科学的必要吗？我们的信心只能建
立在宇宙的规律性上，这种规律性也许永远不能够为人类所完全认识，但总是在某
个地方"存在"着，全部自然科学包括数学不是创造它，而是发现它。然而即使全
部的过去都支持某一种规律，这种规律就一定会在将来永远地成立下去吗？太阳明
天还会升起，这可以通过物理定律来证明，可是物理定律恰恰是从象太阳无数次有
规律的升起这样的大量经验中得出的，这就象是自己证明自己，并没有产生新的信
息。
到这里我打算停下来，把问题交给搞自然科学的同仁们。归跟到底，那些建立
模型解释模型的任务不在数学家身上。我们所从事的工作就象是下围棋，给定了规
则（逻辑）后就演绎出许多推论，在数学上的"正确"意味着合乎这种规则，和现
实生活中的"正确"具有不同（然而非常相关）的哲学意义。由此可见，数学不是
具体科学，更不是"客观真理"的总汇。
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[1] 《动物庄院》，George Orwell
[2] 《Applied Mathematics Is Bad Mathematics》，P. Halmos
[3] 《Mathematics in the Physical Science》，F. J. Dyson
[4] 《回忆录》，拉法格著，转引自《数学与人类文化》，孙小礼著
[5] 《论数学》，冯·诺伊曼
[6] 《反杜林论》，恩格斯
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其他文章：
诺贝尔经济学奖与数学
※ 来源:．鼓浪听涛 bbs.xmu.edu.cn
【 原文由 cafemate 所发表 】
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