3D 图形编程的数学基础(1) 向量及其运算

write by 九天雁翎(JTianLing) -- blog.csdn.net/vagrxie

讨论新闻组及文件

Technorati 标签: 向量 , 3D , 坐标系 , 规范化 , 点积 , 叉积

说明

因为大学时在高等数学课程中学习过线性代数相关的内容，所以学习3D编程的时候这一段事实上是跳过去了，学习到某些内容的时候觉得很郁闷，（4，5年没有用了，难免忘掉）最后常常依靠高级API完成，但是事实上这些高级API的算法具体实现啥的基本看不懂，于是还是决定回来好好的将基础部分弄明白，当然，首先是数学部分。为了更好的达到直观的效果，还有在复杂矩阵运算的时候验证运算结果，将引入freemat或者scilab（5.1.1）或者GNU Octave(3.2.3)的使用，将此三个软件作为matlab的替代品来使用。不能用庞大的matlab也是种解脱，默认使用freemat,不行的时候考虑其他替代。具体牵涉到计算的时尽量实现DirectX与Irrlicht两个版本，也会参考部分源代码。（主要用于看看公式用C/C++的实现）基本上，我希望能以概念的讲解为主，最好是直观的讲解。

向量

只用大小就能表示的量叫数量，比如温度，质量等。既需要用大小表示，同时还要指明方向的量叫向量，比如位移，速度等。几何学中，我们用有向线段来表示向量。有两个变量可以确定一个向量,即向量的长度和向量的方向。量与位置无关，有相同长度和方向的两个向量是相等的。在irrlicht中有专门的类vector2d,vector3d分别来表示2维的，3维的向量。在DirectX中用于表示向量的是结构D3DXVECTOR2，D3DXVECTOR3,D3DXVECTOR4。

左右手坐标系

一图胜前言，不懂怎么用手扭曲的去比划的看看图，就明白啥是左手，啥是右手坐标系了。在OpenGL中使用的是右手坐标系，DirectX,Irrlicht中使用的是左手坐标系。（图片来自于网络）

向量的模

向量的大小（或长度）称为向量的模，向量a的模记为||a||。下面以3维的向量（3D中用的最多）为例：

在irrlicht中获取向量模的函数是vector3d的成员函数

//! Get length of the vector. T getLength () const { return core :: squareroot ( X * X + Y * Y + Z * Z ); } //! Get squared length of the vector. /** This is useful because it is much faster than getLength(). /return Squared length of the vector. */ T getLengthSQ () const { return X * X + Y * Y + Z * Z ; }

可以看出公式的实现，其中getLengthSQ用于某些时候使用不开根号，直接使用平方值的方法来优化代码。

DirectX中的实现差不多一样，只是使用的是C风格的接口没有使用C++的类而已。

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Length ( CONST D3DXVECTOR3 * pV ) { #ifdef D3DX_DEBUG if(!pV) return 0.0f; #endif #ifdef __cplusplus return sqrtf ( pV -> x * pV -> x + pV -> y * pV -> y + pV -> z * pV -> z ); #else return (FLOAT) sqrt(pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z); #endif } D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3LengthSq ( CONST D3DXVECTOR3 * pV ) { #ifdef D3DX_DEBUG if(!pV) return 0.0f; #endif return pV -> x * pV -> x + pV -> y * pV -> y + pV -> z * pV -> z ; }

FreeMat:

--> a = [1, 1, 1] a = 1 1 1 --> b = norm(a) b = 1.7321 -->

三维空间中两点的距离

公式：

Irrlicht的实现：

//! Get distance from another point. /** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */ T getDistanceFrom ( const vector3d < T >& other ) const { return vector3d < T >( X - other . X , Y - other . Y , Z - other . Z ). getLength (); } //! Returns squared distance from another point. /** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */ T getDistanceFromSQ ( const vector3d < T >& other ) const { return vector3d < T >( X - other . X , Y - other . Y , Z - other . Z ). getLengthSQ (); }

也有平方的SQ函数版本。

向量的规范化

向量的规范化也称（归一化）就是使向量的模变为1，即变为单位向量。可以通过将向量都除以该向量的模来实现向量的规范化。规范化后的向量相当于与向量同方向的单位向量，可以用它表示向量的方向。由于方向的概念在3D编程中非常重要，所以此概念也很重要，单位向量有很多重要的性质，在表示物体表面的法线向量时用的更是频繁。

基本的公式：

在irrlicht中的调用函数及实现：

//! Normalizes the vector. /** In case of the 0 vector the result is still 0, otherwise the length of the vector will be 1. /return Reference to this vector after normalization. */ vector3d < T >& normalize () { f64 length = ( f32 )( X * X + Y * Y + Z * Z ); if ( core :: equals ( length , 0.0)) // this check isn't an optimization but prevents getting NAN in the sqrt. return * this ; length = core :: reciprocal_squareroot ( ( f64 ) ( X * X + Y * Y + Z * Z ) ); X = ( T )( X * length ); Y = ( T )( Y * length ); Z = ( T )( Z * length ); return * this ; }

上述代码中首先计算length以防其为0，然后直接计算1/||u||,（这样做的目的从代码实现上来看是因为SSE,Nviadia都有可以直接计算此值的能力）然后再分别与各坐标值进行乘法运算。

DirectX中的调用函数：(无实现可看）

D3DXVECTOR3 * WINAPI D3DXVec3Normalize ( D3DXVECTOR3 * pOut , CONST D3DXVECTOR3 * pV );

向量的加减法，数乘

太简单，不多描述，无非就是对应的加，减，乘罢了，几何意义讲一下，加法可以看做是两个向量综合后的方向，减法可以看做两个向量的差异方向（甚至可以用于追踪算法），数乘用于对向量进行缩放。

为了完整，这里从百度百科拷贝一段资料过来：（以下都是2维的，放到3维也差不多）

设 a =（x，y）， b =(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB + BC = AC 。

a + b =(x+x'，y+y')。

a + 0 = 0 + a = a。

向量加法的运算律：

交换律： a + b = b + a；

结合律：( a + b )+ c = a +( b + c )。

2、向量的减法

如果 a 、 b 是互为相反的向量，那么 a =- b ， b =- a ， a + b = 0. 0 的反向量为 0
AB - AC = CB. 即“共同起点，指向被减”

a =(x,y) b =(x',y') 则 a - b =(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量 a 的乘积是一个向量，记作λ a ，且∣λa∣=∣λ∣ · ∣a∣。
当λ＞0时，λ a 与 a 同方向；

当λ＜0时，λ a 与 a 反方向；

当λ=0时，λ a = 0 ，方向任意。

当 a = 0 时，对于任意实数λ，都有λ a = 0 。

注：按定义知，如果λ a = 0 ，那么λ=0或 a = 0 。

实数λ叫做向量 a 的系数，乘数向量λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λ a ) ·b =λ( a · b) =( a ·λ b )。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ) a =λ a +μ a.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ( a + b )=λ a +λ b.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λ a= λ b ，那么 a=b 。② 如果 a ≠ 0 且λ a= μ a ，那么λ = μ。

点积(dot product)又称数量积或内积

v0 . v1 = v0.x*v1.x+v0.y*v1.y+v0.z*v1.z;
所以向量的点积结果是一个数，而非向量。
点积等于向量v0的长度乘以v1的长度，再乘以它们之间夹角的余弦，即|v0|*|v1|*cos(θ).
通过点积，可以计算两个向量之间的夹角。
cos(θ)=v0.v1/|v0||v1|;
θ=Math.acos(v0.v1/|v0||v1|);
如果两个向量都是单位向量，上面的公式可以简化为
θ=Math.acos(v0.v1);
V0.v1=0 =》两个向量互相垂直
V0.v1>0 =》两个向量的夹角小于90度
V0.v1<0 =》两个向量的夹角大于90度

Irrlicht中的实现：（很简单的公式，很直白的实现）

//! Get the dot product with another vector. T dotProduct ( const vector3d < T >& other ) const { return X * other . X + Y * other . Y + Z * other . Z ; }

DirectX中的实现：（很简单的公式，也是很直白的实现）

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Dot ( CONST D3DXVECTOR3 * pV1 , CONST D3DXVECTOR3 * pV2 ) { #ifdef D3DX_DEBUG if(!pV1 || !pV2) return 0.0f; #endif return pV1 -> x * pV2 -> x + pV1 -> y * pV2 -> y + pV1 -> z * pV2 -> z ; }

叉积(cross product)：也称向量积

叉积的结果是一个向量，该向量垂直于相乘的两个向量。

公式：

注意：叉积不满足交换律，反过来相乘得到的向量与原向量方向相反。
左手坐标系可以通过左手法则来确定叉积返回的向量的方向，从第一个向量向第二个向量弯曲左手，这是拇指所指的方向就是求得的向量的方向。右手坐标系同样的，可以通过右手法则来确定叉积返回的向量的方向，从第一个向量向第二个向量弯曲右手，这是拇指所指的方向就是求得的向量的方向。因此，事实上叉积获得的向量总是垂直于原来两个向量所在的平面。
如果两个向量方向相同或相反，叉积结果将是一个零向量。（即a//b)
叉乘的一个重要应用就是求三角形的法向量。

Irrlicht的实现：

//! Calculates the cross product with another vector. /** /param p Vector to multiply with. /return Crossproduct of this vector with p. */ vector3d < T > crossProduct ( const vector3d < T >& p ) const { return vector3d < T >( Y * p . Z - Z * p . Y , Z * p . X - X * p . Z , X * p . Y - Y * p . X ); }

DirectX的实现：

D3DXINLINE D3DXVECTOR3 * D3DXVec3Cross ( D3DXVECTOR3 * pOut , CONST D3DXVECTOR3 * pV1 , CONST D3DXVECTOR3 * pV2 ) { D3DXVECTOR3 v ; #ifdef D3DX_DEBUG if(!pOut || !pV1 || !pV2) return NULL; #endif v . x = pV1 -> y * pV2 -> z - pV1 -> z * pV2 -> y ; v . y = pV1 -> z * pV2 -> x - pV1 -> x * pV2 -> z ; v . z = pV1 -> x * pV2 -> y - pV1 -> y * pV2 -> x ; * pOut = v ; return pOut ; }
基本上也就是按公式来了。
作为最后一个概念，这里用代码实践一下。

求a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的叉积。

freemat:

--> a = [2,2,1] a = 2 2 1 --> b = [4,5,3] b = 4 5 3 --> c = cross(a,b) c = 1 -2 2 -->

Irrlicht:

#include <stdio.h> #include <irrlicht.h> using namespace irr :: core ; int _tmain ( int argc , _TCHAR * argv []) { vector3df a (2.0f, 2.0f, 1.0f); vector3df b (4.0f, 5.0f, 3.0f); vector3df c = a . crossProduct ( b ); printf ( "c = (%f, %f, %f)" , c . X , c . Y , c . Z ); return 0; }

输出：

c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)

DirectX:

#include <stdio.h> #include <d3dx9.h> int _tmain ( int argc , _TCHAR * argv []) { D3DXVECTOR3 a (2.0f, 2.0f, 1.0f); D3DXVECTOR3 b (4.0f, 5.0f, 3.0f); D3DXVECTOR3 c ; D3DXVec3Cross (& c , & a , & b ); printf ( "c = (%f, %f, %f)" , c . x , c . y , c . z ); return 0; }

输出：

c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)

这里给出个较为完整的例子是希望大家了解一下Irrlicht这种C++风格的接口及DirectX的C风格接口使用上的不同，这里就不对两种风格的接口提出更多评论了，以防引起口水战。

下一篇预计讲矩阵的计算

参考资料：

1.《DirectX 9.0 3D游戏开发编程基础》，（美）Frank D.Luna著，段菲译，清华大学出版社

2.《大学数学》湖南大学数学与计量经济学院组编，高等教育出版社

3.百度百科及wikipedia

原创文章作者保留版权转载请注明原作者并给出链接

write by 九天雁翎(JTianLing) -- blog.csdn.net/vagrxie
<script type="text/javascript">var sitebro_tracker_atc_kw = {u:'http://www.sitebot.com.cn/754892/',w:'NzU0ODky',bt:'#804000',bg:'#EEEEDD',fs:1,ca:'#770000',bh:'#f4f4c6',cp:'',l:10,s:1,lang:'zh_CN'};</script><script type="text/javascript" src="http://www.sitebot.com.cn/js/widget_track2/tracker_atc_kw.js"></script><script type="text/javascript"></script><script src="http://www.sitebot.com.cn/js/widget_track2/tracker_atc.js" type="text/javascript"></script>
3D 图形编程的数学基础(1) 向量及其运算

更多文章、技术交流、商务合作、联系博主

微信扫码或搜索：z360901061

微信扫一扫加我为好友

QQ号联系： 360901061

您的支持是博主写作最大的动力，如果您喜欢我的文章，感觉我的文章对您有帮助，请用微信扫描下面二维码支持博主2元、5元、10元、20元等您想捐的金额吧，狠狠点击下面给点支持吧，站长非常感激您！手机微信长按不能支付解决办法：请将微信支付二维码保存到相册，切换到微信，然后点击微信右上角扫一扫功能，选择支付二维码完成支付。

【本文对您有帮助就好】元

2元

5元

10元

20元

自定义