剑指offer(47):礼物的最大值(动态规划详解,python版)

系统 1648 0

本博客主要内容为图书《剑指offer》第二版47 题的解题思路及代码。方法可能还有不足之处,欢迎大家讨论评论。

1. 题目描述

  在一个 m*n 的棋盘中的每一个格都放一个礼物,每个礼物都有一定的价值(价值大于0).你可以从棋盘的左上角开始拿各种里的礼物,并每次向左或者向下移动一格,直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及上面个的礼物,请计算你最多能拿走多少价值的礼物?

  比如说现在有一个如下的棋盘,

剑指offer(47):礼物的最大值(动态规划详解,python版)_第1张图片

在这个棋盘中,按照(1,12,5,7,7,16,5)的顺序可以拿到总价值最大的礼物。

2. 题目分析

  我们首先使用递归的思路进行分析,当求解到达右下角时礼物的最大总价值时,可以通过如下的递推关系进行计算

f ( i , j ) = m a ( f ( i 1 , j ) , f ( i , j 1 ) ) + g ( i , j )

其中 f ( i , j ) 是要求解的最大值, f ( i , j 1 ) 到达 ( i , j ) 点左边点时得到最大礼物价值,而 f ( i 1 , j ) 是到达 ( i , j ) 点上边点时得到最大礼物价值, g ( i , j ) ( i , j ) 点礼物的价值。同归地推关系式可以使用递归的方法进行求解,但是在使用递归求解的过程中会重复求解许多的值,所以这个时候就应该使用动态规划的方式进行求解。也就是说分析的过程如上,是从上到下递归地分析;而求解过程是从下到上循环地求解。

  一个很直观的想法是,我们将每一步求解出的结果都保存在一个矩阵中。那么在这个问题中就要有一个和原始矩阵等大的矩阵进行存储,但是实际上只需要一个与列数相同维数的一维数组就够了。为什么存储这么少的就够了呢。

  在动态规划求解这个问题的时候,我们找出到达每一行中每个位置的最大值,在求解第一行的时候,很明显只能一直向右走,对于第二行的一个数字,很明显只能从 ( 0 , 0 ) 走到 ( 0 , 1 ) ,这个还是先用与原始矩阵同样大的矩阵进行分析,如下所示

剑指offer(47):礼物的最大值(动态规划详解,python版)_第2张图片

在上图中,如果要求到达 a 点的礼物的最大值,它只与左边的值和它上面的值有关,所以在计算 a 之前就可以将 1 去掉了,因为后面的计算都不会用到 a 的。同理计算出 a 点的最大值之后就可以将 11 替换掉了,因为再求 b 的时候不会再用到。分析到这里我们就可以发现,并不需要一个与原始矩阵等大的矩阵来存储中间计算的值,只需要一个与列数相同的一维向量即可。

3. 代码实现

            
              
                
                  class
                
                
                  Solution
                
                :
              
              
                
                  def
                
                
                  getmaxValue
                
                
                  (self, values, rows, cols)
                
                :
              
              
                if
              
              
                not
              
               values 
              
                or
              
               rows<=
              
                0
              
              
                or
              
               cols <=
              
                0
              
              :
            
              
                return
              
              
                0
              
              
                # 用于存放中间数值的临时数组
              
              
        temp = [
              
                0
              
              ] * cols

        
              
                for
              
               i 
              
                in
              
               range(rows):
            
              
                for
              
               j 
              
                in
              
               range(cols):
                left = 
              
                0
              
              
                up = 
              
                0
              
              
                if
              
               i > 
              
                0
              
              :
                    up = temp[j]
                
              
                if
              
               j > 
              
                0
              
              :
                    left = temp[j-
              
                1
              
              ]
                temp[j] = max(up,left) + values[i*rows+j]
        
              
                return
              
               temp[-
              
                1
              
              ]
s = Solution()
a = s.getmaxValue([
              
                1
              
              ,
              
                10
              
              ,
              
                3
              
              ,
              
                8
              
              ,
              
                12
              
              ,
              
                2
              
              ,
              
                9
              
              ,
              
                6
              
              ,
              
                5
              
              ,
              
                7
              
              ,
              
                4
              
              ,
              
                11
              
              ,
              
                3
              
              ,
              
                7
              
              ,
              
                16
              
              ,
              
                5
              
              ],
              
                4
              
              ,
              
                4
              
              )

            
          

参考文献

  1. 何海涛. 剑指Offer.第2版[M]. 电子工业出版社, 2014.

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