【machine learning】GMM算法（Python版）
一、GMM模型
事实上，GMM 和 k-means 很像，不过 GMM 是学习出一些概率密度函数来（所以 GMM 除了用在 clustering 上之外，还经常被用于 density estimation ），简单地说，k-means 的结果是每个数据点被 assign 到其中某一个 cluster 了，而 GMM 则给出这些数据点被 assign 到每个 cluster 的概率，又称作 soft assignment 。
得出一个概率有很多好处，因为它的信息量比简单的一个结果要多，比如，我可以把这个概率转换为一个 score ，表示算法对自己得出的这个结果的把握，参考pluskid大神博文
- 也许我可以对同一个任务，用多个方法得到结果，最后选取“把握”最大的那个结果；
- 另一个很常见的方法是在诸如疾病诊断之类的场所，机器对于那些很容易分辨的情况（患病或者不患病的概率很高）可以自动区分，而对于那种很难分辨的情况，比如，49% 的概率患病，51% 的概率正常，如果仅仅简单地使用 50% 的阈值将患者诊断为“正常”的话，风险是非常大的，因此，在机器对自己的结果把握很小的情况下，会“拒绝发表评论”，而把这个任务留给有经验的医生去解决。
每个GMM由K个Gaussian分布组成，每个Gaussian称为一个“Component”，这些Component 线性加成在一起就组成了GMM 的概率密度函数：
根据上面的式子，如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步：首先随机地在这 K个Gaussian Component 之中选一个，每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 pi(k) ，选中了 Component 之后，再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布，转化为了已知的问题。
那么如何用 GMM 来做 clustering 呢？其实很简单，现在我们有了数据，假定它们是由 GMM 生成出来的，那么我们只要根据数据推出 GMM 的概率分布来就可以了，然后 GMM 的 K 个 Component 实际上就对应了 K 个 cluster 了。根据数据来推算概率密度通常被称作 density estimation ，特别地，当我们在已知（或假定）了概率密度函数的形式，而要估计其中的参数的过程被称作“参数估计”。
二、参数与似然函数
现在假设我们有 N 个数据点，并假设它们服从某个分布（记作 p(x)），现在要确定里面的一些参数的值，例如，在 GMM 中，我们就需要确定 影响因子pi(k)、各类均值pMiu(k) 和 各类协方差pSigma(k) 这些参数。 我们的想法是，找到这样一组参数，它所确定的概率分布生成这些给定的数据点的概率最大，而这个概率实际上就等于 ，我们把这个乘积称作似然函数 (Likelihood Function)。通常单个点的概率都很小，许多很小的数字相乘起来在计算机里很容易造成浮点数下溢，因此我们通常会对其取对数，把乘积变成加和 ∑ N i = 1 log p ( x i ) ∑i=1Nlogp(xi) ，得到log-likelihood function 。接下来我们只要将这个函数最大化（通常的做法是求导并令导数等于零，然后解方程），亦即找到这样一组参数值，它让似然函数取得最大值，我们就认为这是最合适的参数，这样就完成了参数估计的过程。
下面让我们来看一看 GMM 的 log-likelihood function ：
由于在对数函数里面又有加和，我们没法直接用求导解方程的办法直接求得最大值。为了解决这个问题，我们采取之前从 GMM 中随机选点的办法：分成两步，实际上也就类似于K-means 的两步。
三、算法流程
1、估计数据由每个 Component 生成的概率（并不是每个 Component 被选中的概率）：对于每个数据 x i xi 来说，它由第 k 个 Component 生成的概率为
其中N（xi|μk,Σk）就是后验概率
2、通过极大似然估计可以通过求到令参数=0得到参数pMiu，pSigma的值。
其中 N k = ∑ N i = 1 γ ( i , k ) Nk=∑i=1Nγ(i,k) (这里的顺理成章要考证起来有很多要说)
3、重复迭代前面两步，直到似然函数的值收敛为止。
声明：这里完全可以对照EM算法的两步走，对应关系如下：
- 均值和方差对应θ
- Component 生成的概率为隐藏变量
-
最大似然函数L(θ)=
四、GMM聚类代码
GMM.py
#! /usr/bin/env python
#coding=utf-8
from
numpy
import
*
import
pylab
import
random,math
def
loadDataSet
(fileName)
:
#general function to parse tab -delimited floats
dataMat = []
#assume last column is target value
fr = open(fileName)
for
line
in
fr.readlines():
curLine = line.strip().split(
'\t'
)
fltLine = map(float,curLine)
#map all elements to float()
dataMat.append(fltLine)
return
dataMat
def
gmm
(file, K_or_centroids)
:
# ============================================================
# Expectation-Maximization iteration implementation of
# Gaussian Mixture Model.
#
# PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
# [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
#
# - X: N-by-D data matrix.
# - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
# components or a K-by-D matrix indicating the
# choosing of the initial K centroids.
#
# - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
# component generating each point.
# - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
# MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
# MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
# MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
# ============================================================
## Generate Initial Centroids
threshold =
1e-15
dataMat = mat(loadDataSet(file))
[N, D] = shape(dataMat)
K_or_centroids =
2
# K_or_centroids可以是一个整数，也可以是k个质心的二维列向量
if
shape(K_or_centroids)==():
#if K_or_centroid is a 1*1 number
K = K_or_centroids
Rn_index = range(N)
random.shuffle(Rn_index)
#random index N samples
centroids = dataMat[Rn_index[
0
:K], :];
#generate K random centroid
else
:
# K_or_centroid is a initial K centroid
K = size(K_or_centroids)[
0
];
centroids = K_or_centroids;
## initial values
[pMiu,pPi,pSigma] = init_params(dataMat,centroids,K,N,D)
Lprev = -inf
#上一次聚类的误差
# EM Algorithm
while
True
:
# Estimation Step
Px = calc_prob(pMiu,pSigma,dataMat,K,N,D)
# new value for pGamma(N*k), pGamma(i,k) = Xi由第k个Gaussian生成的概率
# 或者说xi中有pGamma(i,k)是由第k个Gaussian生成的
pGamma = mat(array(Px) * array(tile(pPi, (N,
1
))))
#分子 = pi(k) * N(xi | pMiu(k), pSigma(k))
pGamma = pGamma / tile(sum(pGamma,
1
), (
1
, K))
#分母 = pi(j) * N(xi | pMiu(j), pSigma(j))对所有j求和
## Maximization Step - through Maximize likelihood Estimation
#print 'dtypeddddddddd:',pGamma.dtype
Nk = sum(pGamma,
0
)
#Nk(1*k) = 第k个高斯生成每个样本的概率的和，所有Nk的总和为N。
# update pMiu
pMiu = mat(diag((
1
/Nk).tolist()[
0
])) * (pGamma.T) * dataMat
#update pMiu through MLE(通过令导数 = 0得到)
pPi = Nk/N
# update k个 pSigma
print
'kk='
,K
for
kk
in
range(K):
Xshift = dataMat-tile(pMiu[kk], (N,
1
))
Xshift.T * mat(diag(pGamma[:, kk].T.tolist()[
0
])) * Xshift /
2
pSigma[:, :, kk] = (Xshift.T * \
mat(diag(pGamma[:, kk].T.tolist()[
0
])) * Xshift) / Nk[kk]
# check for convergence
L = sum(log(Px*(pPi.T)))
if
L-Lprev < threshold:
break
Lprev = L
return
Px
def
init_params
(X,centroids,K,N,D)
:
pMiu = centroids
#k*D, 即k类的中心点
pPi = zeros([
1
, K])
#k类GMM所占权重（influence factor）
pSigma = zeros([D, D, K])
#k类GMM的协方差矩阵，每个是D*D的
# 距离矩阵，计算N*K的矩阵（x-pMiu）^2 = x^2+pMiu^2-2*x*Miu
#x^2, N*1的矩阵replicateK列\#pMiu^2，1*K的矩阵replicateN行
distmat = tile(sum(power(X,
2
),
1
),(
1
, K)) + \
tile(transpose(sum(power(pMiu,
2
),
1
)),(N,
1
)) - \
2
*X*transpose(pMiu)
labels = distmat.argmin(
1
)
#Return the minimum from each row
# 获取k类的pPi和协方差矩阵
for
k
in
range(K):
boolList = (labels==k).tolist()
indexList = [boolList.index(i)
for
i
in
boolList
if
i==[
True
]]
Xk = X[indexList, :]
#print cov(Xk)
# 也可以用shape(XK)[0]
pPi[
0
][k] = float(size(Xk,
0
))/N
pSigma[:, :, k] = cov(transpose(Xk))
return
pMiu,pPi,pSigma
# 计算每个数据由第k类生成的概率矩阵Px
def
calc_prob
(pMiu,pSigma,X,K,N,D)
:
# Gaussian posterior probability
# N(x|pMiu,pSigma) = 1/((2pi)^(D/2))*(1/(abs(sigma))^0.5)*exp(-1/2*(x-pMiu)'pSigma^(-1)*(x-pMiu))
Px = mat(zeros([N, K]))
for
k
in
range(K):
Xshift = X-tile(pMiu[k, :],(N,
1
))
#X-pMiu
#inv_pSigma = mat(pSigma[:, :, k]).I
inv_pSigma = linalg.pinv(mat(pSigma[:, :, k]))
tmp = sum(array((Xshift*inv_pSigma)) * array(Xshift),
1
)
# 这里应变为一列数
tmp = mat(tmp).T
#print linalg.det(inv_pSigma),'54545'
Sigema = linalg.det(mat(inv_pSigma))
if
Sigema <
0
:
Sigema=
0
coef = power((
2
*(math.pi)),(-D/
2
)) * sqrt(Sigema)
Px[:, k] = coef * exp(-
0.5
*tmp)
return
Px
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
main.py
#! /usr/bin/env python
#coding=utf-8
import
GMM
'''
def showFigure(dataMat,k,clusterAssment):
tag=['go','or','yo','ko']
for i in range(k):
datalist = dataMat[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0]]
pylab.plot(datalist[:,0],datalist[:,1],tag[i])
pylab.show()
'''
if
__name__ ==
'__main__'
:
GMM.gmm(
'testSet.txt'
,
2
)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
说明：
-
程序由matlab代码改过了，利用了numpy库的函数，需要下载软件可参考链接
-
其中的分析数据源我用了KMeans算法中的数据，不过遇到了奇异矩阵的问题（因为数据分布本来就有悖于高斯分布），即使用了伪逆也没解决问题，看之后学习能否回头再解决。也可查看博文评论围观别人的解决方法
-
matlab在矩阵的处理上的确优于Python太多了，一方面不用导入库，也没有存在array,mat等类的转换和众多函数的比较和考虑。不过Python综合应用多，上至Web下至PC，从测试到开发都有很多人用，相比matlab还是做测试多一点。
