如何理解统计中的特征函数？

引入特征函数是非常自然的事情：

• 在实际应用中，逐个测量事件空间中的各事件发生的概率（或者分布函数）是极端困难的，相反，对大多数分布而言，矩（平均值、方差以及各种高阶矩）往往是容易被测量的；
  
• 在问题变得复杂之后，再来计算矩（例如均值、方差等等）的时候，如果我们知道分布函数，那么我们要做的是求和与积分，而如果我们知道特征函数，在计算矩的时候，我们要做的只是微分，而通常，求导会比直接积分更容易，而且可以针对各阶矩有更统一的形式。

而因为考虑到这两个因素，再加上 Fourier 空间跟实空间可以一一对应起来，所以大家就更喜欢特征函数了。

接下来，Laplace 变换行不行？当然也可以，这其实是一码事。统计物理学家很熟悉的「配分函数」也就是一个特征函数： ，它就对应于态密度 g(E) 的Laplace 变换。对物理学家而言，喜欢用逆温度（Laplace），或者喜欢用虚时间（Fourier）这其实是一码事的，如果在这种时候用虚时间来写，一个好处是显得高端大气，另一个好处是可以与路径积分联系起来，而且，Laplace 变换用的时候总得要写「正半轴」之类的东西，写起来太麻烦。