(间断点、左右极限)  当 |x| < 1 时， ;当 |x| > 1 时，。

(函数有界性判定)  设f(x)在开区间(a,b)内连续，若及存在，则f(x)在(a,b)内有界。

例题 讨论函数在上的有界性。

由及可知f(x) = f(-x)，所以f(x)是偶函数。只需证明f(x)在上有界。又 于是，对于（ 可以为任意正数但必须确定下来 ），存在A>0，当x>A时，有。

即当x>A时，有0<f(x)<1。

因为f(x)在[0,A]上连续，因此f(x)在 [0,A]有界，注意到在 上。故，存在M ₁ >0，使得任意有。取M = max{1,M ₁ }则对任意有。从而可知：对任意有。

注意：

1、要判断函数的有界性先考虑在间断点、无穷远点的极限（涉及左右极限）；

2、不用求导数、单调性之类，这两步已经证明了有界性。

(周期函数)   设f(x)是以T为周期的连续函数则：

1、f(x)的原函数是以T为周期的充要条件是；

2、任意，；

3、。

(求极限)     

解：原式 =  =  = 

注意：这里运用了等价无穷小 x-1 ~ ln(x-1+1) 其实是 x ~ ln(x+1) 的变体

用到的无穷小：1、当  ，得到  ；2、arctanx ~ x；3、1-cosx ~ ；4、。

(函数的导数)(不一定用得着)  若  存在，且  则 

(两个重要的极限)  ；

(单侧极限)  若在求极限时，涉及 、、、绝对值，要考虑单侧极限。

(和差中的等价无穷小替换)  若当  o（代表一个值） 时，~、~，则只有当  时，才能用  ，这是因为将  用  替代后产生的误差大小只能用泰勒公式才能说清楚。

(求极限) 

解：令  ，原式 =  =  =  =  = 

注意：在用常见方法（四则运算、重要极限、等价无穷小替换）不能求解极限时，变量替换是行之有效的方法（尤其是倒代换）（观察趋近的数一般由无穷大变到0）

(积分求导) 

1、     ；

2、。

(数学归纳法证明极限存在)  设 、，证明  存在，并求值。

解： ，设 ，则 。由数学归纳法得知数列  有下界，又 ，因而  单调递减，由单调有界原理  存在且为3。

注意：此题也可由  为下界，再证  即可得到 。

(求极限数列)(判别级数) 

解：考虑级数 ，用比值判别法，所以 收敛，所以

注意：利用级数收敛的必要条件，可求一些级数为0的数列极限。

(无穷小)  当 时， g(x) 是 (x-a) 的n阶无穷小，当 时，f(u)是 u 的m阶无穷小，则 f[g(x)] 是 (x-a) 的nm阶无穷小。

(求极限) 

解： =  =    (拉格朗日中值定理，)

所以 = 

注意：求形如 I =  的极限，可用拉格朗日中值定理，转化为  的式子

(积分公式)

1、；

2、；

3、；

4、；（ 这个比较重要 ）

5、。

(微分方程导数定义)  设g(x)是微分方程g'(x) + g(x)sinx = cosx 满足g(0) = 0，求

解：由题，又g'(0) = cos0-g(0)sin0 = 1

本题也可先解微粉方程在求极限。