[转]Quake-III代码里神奇的浮点开方函数
2010-09-30 19:42:18Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错,而且即使计算机配置低,也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克(John Carmack)。事实上早在90年代初DOS时代,只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候,John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励,doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效,几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见,修改了不少API。
最近,QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议,公开了QUAKE-III的原代码,让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。
这是QUAKE-III原代码的下载地址:
http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547
(下面是官方的下载网址,搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的
ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)
我们知道,越底层的函数,调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数(在game/code/q_math.c), 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数,很多都令人惊奇,估计我们几年时间都学不完。
在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍:
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代,直接运算)。编译,实验,这个函数不仅工作的很好,而且比标准的sqrt()函数快4倍!要知道,编译器自带的函数,可是经过严格仔细的汇编优化的啊!
这个简洁的函数,最核心,也是最让人费解的,就是标注了“what the fuck?”的一句
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算!而且注意到,核心那句是定点移位运算,速度极快!特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上,这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
简单来说比如求平方根,f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x,f(x)/f'(x)=x/2,把f(x)代入
x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2,现在我们选a=5,选一个猜测值比如2,
那么我们可以这么算
5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; (2.25+xxx)/2 = xxxx ...
这样反复迭代下去,结果必定收敛于sqrt(5),没错,一般的求平方根都是这么算的
但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值
就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛 顿迭代就可以达到我们所需要的精度.
好吧 如果这个还不算NB,接着看:
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣,决定要研究一下卡马克弄出来的
这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人,在精心研究之后从理论上也推导出一个
最佳猜测值,和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛,他是外星人吗?
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意,于是拿自己计算出的起始
值和卡马克的神秘数字做比赛,看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是
卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了,采用暴力方法一个数字一个数字试过来,终于找到一个比卡马克数
字要好上那么一丁点的数字,虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似,这个暴
力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文,"Fast Inverse Square Root"。
论文下载地址:
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf
参考:<IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic><FAST INVERSE SQUARE ROOT>
最后,给出最精简的1/sqrt()函数:
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
return x;
}
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验,惊讶一下它的工作效率。
前兩天有一則新聞,大意是說 Ryszard Sommefeldt 很久以前看到這麼樣的一段 code (可能出自 Quake III 的 source code):
float InvSqrt (float x) {
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i>>1);
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
return x;
}
他一看之下驚為天人,想要拜見這位前輩高人,但是一路追尋下去卻一直找不到人;同時間也有其他人在找,雖然也沒找到出處,但是 Chris Lomont 寫了一篇論文 (in PDF) 解析這段 code 的演算法 (用的是 Newton’s Method,牛頓法;比較重要的是後半段講到怎麼找出神奇的 0x5f3759df 的)。
PS. 這個 function 之所以重要,是因為求 開根號倒數 這個動作在 3D 運算 (向量運算的部份) 裡面常常會用到,如果你用最原始的 sqrt() 然後再倒數的話,速度比上面的這個版本大概慢了四倍吧… XD
PS2. 在他們追尋的過程中,有人提到一份叫做 MIT HACKMEM 的文件,這是 1970 年代的 MIT 強者們做的一些筆記 (hack memo),大部份是 algorithm,有些 code 是 PDP-10 asm 寫的,另外有少數是 C code (有人整理了一份列表)。
附:牛顿迭代法快速寻找平方根
下面这种方法可以很有效地求出根号a的近似值:首先随便猜一个近似值x,然后不断令x等于x和a/x的平均数,迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如,我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4,虽然错的离谱,但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了:
( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
....
这种算法的原理很简单,我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根,这个函数的导数是2x。也就是说,函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么,x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x),也就是(x+a/x)/2。
源地址: http://blog.renren.com/GetEntry.do?id=491777510&owner=245298353
雷Sir
非常好奇这位天才是如何找到这个数值的
删除
jarodChange (人生在世 吃喝二字)
前辈牛逼人
删除
梦断代码 (夏天是时间的分隔符。)
膜拜
删除
S.A.M (千百次修订)
数学的暴力。。
删除
hd熊猫人 (三更有梦书当枕。)
无聊的时候穷举的,我想。
删除
S.A.M (千百次修订)
素认为,密码心理学就是提高穷举的命中概率。
删除
光之翼
刚读到这段代码,膜拜