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博弈论简介
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博弈论基础知识
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(一)巴什博奕(Bash Game):
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只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜.
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若(m+
1
) |
n，则先手必败，否则先手必胜。
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显然,如果n=m+
1
,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜.因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=(m+
1
)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+
1
-k个,结果剩下(m+
1
)(r-
1
)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜.总之,要保持给对手留下(m+
1
)的倍数,就能最后获胜.
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(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):
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有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
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奇异局势下先手必败，非奇异局势下先手必胜。
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这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=
0
,
1
,
2
,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(
0
,
0
),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是：(
0
,
0
)、(
1
,
2
)、(
3
,
5
)、(
4
,
7
)、(
6
,
10
)、(
8
,
13
)、(
9
,
15
)、(
11
,
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)、(
12
,
20
).
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可以看出,a0=b0=
0
,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak +
k,奇异局势有如下三条性质：
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1
、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中.
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由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-
1
,而bk= ak + k > ak-
1
+ k-
1
= bk-
1
> ak-
1
.所以性质1.成立.
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2
、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势.
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事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势.
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3
、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势.
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假设面对的局势是(a,b),若b = a,则同时从两堆中取走a 个物体,就变为了奇异局势(
0
,
0
)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势；如果a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走b - bj 即可；第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走b -
aj 即可.
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从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜；反之,则后拿者取胜.
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那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
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ak =[k(
1
+√
5
)/
2
](下取整), bk= ak +
k (k∈N)
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奇妙的是其中出现了有关黄金分割数的式子：(
1
+√
5
)/
2
=
1.618
...,若两堆物品个数分别为x,y(x<y)，则k=y-x，再判断x是否等于[(y-x)*( √
5
+
1
)/
2
] 即可得知是否是奇异局势。
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参考例题：POJ1067取石子游戏
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参考代码：
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var
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a,b:longint;
50
begin
51
repeat
52
readln(a,b);
53
if
a>
b then
54
begin a:=a xor b; b:=a xor b; a:=
a xor b; end;
55
if
a=trunc((b-a)*(sqrt(
5
)+
1
)/
2
) then writeln(
0
)
else
writeln(
1
);
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until seekeof;
57
end.
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(三)尼姆博奕(Nimm Game):
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有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
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这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(
0
,
0
,
0
)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败.第二种奇异局势是(
0
,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(
0
,
0
,
0
).仔细分析一下,(
1
,
2
,
3
)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(
0
,n,n)的情形.
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计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号xor表示这种运算.这种运算和一般加法不同的一点是1+
1
=
0
.先看(
1
,
2
,
3
)的按位模2加的结果：
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1
=
二进制01
70
71
Xor
2
=
二进制10
72
73
Xor
3
=
二进制11
74
75
———————
76
77
0
=
二进制00
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对于奇异局势(
0
,n,n)也一样,结果也是0.
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任何奇异局势(a,b,c)都有a xor b xor c =
0
。该结论可以推广至若干堆，都是成立的。
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如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢？假设a < b< c,我们只要将c 变为a xor b,即可,因为有如下的运算结果: a xor b xor (a xor b)=(a xor a) xor (b xor b)=
0
xor
0
=
0
.要将c 变为a xor b,只要从c中减去c-
(a xor b)即可.
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(四)Nim Staircase博奕:
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这个问题是尼姆博弈的拓展：游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时可以将楼梯j(
1
<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-
1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上（0号）的人获胜。
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算法：将奇数楼层的状态异或，和为0则先手必败，否则先手必胜。证明略。
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例题：Poj1704
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这道题可以把两个棋子中间间隔的空格子个数作为一堆石子，则原题转化为每次可以把左边的一堆石子移到相邻的右边的一堆中。也就是阶梯尼姆博弈，注意对输入数据先排序，然后倒着往前数（a[n]-a[n-
1
]-1为第一个），奇数个数到的就做一下xor，其中最前面的看做a[
1
]-
0
-
1
，参考程序：
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var
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t,n,b,i,j:longint;
97
a:array[
0
..
1000
]of longint;
98
begin
99
readln(t);
100
repeat
101
dec(t);
102
readln(n);
103
for
i:=
1
to n
do
read(a[i]);
104
qsort(
1
,n);
//
快排略
105
j:=
0
;
106
b:=
0
;
107
for
i:=n downto
1
do
108
begin
109
inc(j);
110
if
odd(j) then b:=b xor (a[i]-a[i-
1
]-
1
);
111
end;
112
if
b=
0
then writeln(
'
Bob will win
'
)
else
writeln(
'
Georgia will win
'
);
113
until t=
0
;
114
end.
